Страница:
<< 537 538 539 540
541 542 543 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
На доске написано n натуральных чисел. Пусть ak – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные ak. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка (5, 3, 3, 2) → (4, 4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2).
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что многочлен P(x) делится на свою производную тогда и только тогда, когда P(x) имеет вид P(x) = an(x – x0)n.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что многочлен P(x) = a0 + a1x + ... + anxn имеет число –1 корнем кратности m + 1 тогда и только тогда, когда выполнены условия:
a0 – a1 + a2 – a3 + ... + (–1)nan = 0,
– a1 + 2a2 – 3a3 + ... + (–1)nnan = 0,
...
– a1 + 2ma2 – 3ma3 + ... + (–1)nnman = 0.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один – по часовой стрелке, другой – против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.
б) А если чижей и деревьев n?
Страница:
<< 537 538 539 540
541 542 543 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
