Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 534 535 536 537 538 539 540 >> [Всего задач: 4557]

Задача 61404

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
а) ≤ неравенство Коши);
б)

в) где b₁ + ... + b_n = 1.
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61416

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Симметрические многочлены	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите неравенства:
а) x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ x²yz + xy²z + xyz²;
б) x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz;
в) x⁴ + y⁴ + z⁴ + t⁴ ≥ 4xyzt;
г) x⁵ + y⁵ ≥ x³y² + x²y³.
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61434

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени m существует единственный многочлен Q(x) степени m + 1 , для которого ΔQ(x) = P(x) и Q(0) = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61453

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что при всех натуральных n число f (n) = 2^2n–1 – 9n² + 21n – 14 делится на 27.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61462

Тема:

[

Линейные рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $\geqslant$ 0):

a) a₀ = 0, a₁ = 1, a_{n + 2} = 5a_{n + 1} - 6a_n;

б) a₀ = 1, a₁ = 1, a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - 2a_n;

в) a₀ = 1, a₁ = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n;

г) a₀ = 1, a₁ = 2, a_{n + 2} = 2a_{n + 1} - a_n;

д) a₀ = 0, a₁ = 1, a_{n + 2} = 2a_{n + 1} + a_n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 534 535 536 537 538 539 540 >> [Всего задач: 4557]