Страница:
<< 532 533 534 535
536 537 538 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Последовательность чисел {
xn} задана
условиями:
x1 
-
a,
xn + 1 =
.
Докажите, что
последовательность {
xn} монотонна и ограничена. Найдите ее
предел.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Метод Ньютона. Для приближенного
нахождения корней уравнения
f (
x) = 0 Ньютон предложил искать
последовательные приближения по формуле
xn + 1 =
xn -
,
(начальное условие
x0
следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции
f (
x) =
x2 -
k и начального условия
x0 > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к
,
то есть
xn =
.
Как будет выражаться
xn + 1 через
xn? Сравните результат с
формулой из задачи
9.48.
|
[Метод Лобачевского]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Пусть многочлен P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 имеет корни x1, x2, ..., xn, причем |x1| > |x2| > ... > |xn|. В задаче 60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа 
На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов P0(x), P1(x), P2(x), ..., что P0(x) = P(x) и многочлен Pk(x) имеет корни
Пусть 
Докажите, что
а) 
б) 
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Решите системы уравнений:
а) x1 + x2 + x3 = 0,
x2 + x3 + x4 = 0,
...
x99 + x100 + x1 = 0,
x100 + x1 + x2 = 0;
б) x + y + z = a,
y + z + t = b,
y + z + t = c,
t + x + y = d;
в) x1 + x2 + x3 + x4 = 2a1,
x1 + x2 – x3 – x4 = 2a2,
x1 – x2 + x3 – x4 = 2a3,
x1 – x2 – x3 + x4 = 2a4;
г) x1 + 2x2 + 3x3 + ... + nxn = a1,
nx1 + x2 + 2x3 + ... + (n – 1)nxn = a2,
...
2x1 + 3x2 + 4x3 + ... + xn = an.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Докажите неравенство
xαyβ ≤ α
x + β
y для положительных значений переменных
при условии, что α + β = 1 (α, β > 0).
Страница:
<< 532 533 534 535
536 537 538 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
