Страница:
<< 535 536 537 538
539 540 541 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
При возведении числа 1 + 
в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
(1 + )1 = 1 + = + 
, (1 + )2 = 3 + 2 = 
+ 
, (1 + )3 = 7 + 5 = 
+ 
, (1 + )4 = 17 + 12 = 
+ 
.
Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства (1 + )n = an + bn, (n ≥ 0).
а) Выразите через an и bn число (1 – )n.
б) Докажите равенство 
в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности
{an} и {bn}?
г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для
последовательностей {an} и {bn}.
д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу .
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Разложите функции 
и 
(n ≥ 1) в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи Fn(x) и Люка Ln(x) смотри, например, здесь.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка, аналогичную формуле Бине (см. задачи 60578 и 60587).
Определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва
равенствами
Un(x/2) = i–nFn+1(ix); 2Tn(x/2) = i–nLn(ix).
Про многочлены Фибоначчи, Люка и Чебышёва смотри в справочнике.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло
быть наименьшее число орехов в собранной куче?
Страница:
<< 535 536 537 538
539 540 541 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
