Страница:
<< 540 541 542 543
544 545 546 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.
Докажите это.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
x² + y² + xy = a,
x² – y² = b,
где а и b – некоторые данные действительные числа.
а) Дан выпуклый многоугольник A1A2...An. На стороне A1A2 взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 – точки B2 и D3, ..., на стороне AnA1 – точки Bn и D1 так, что если построить параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2, ..., AnBnCnDn, то прямые A1C1, A2C2, ..., AnCn пересекутся в одной точке. Докажите равенство A1B1·A2B2·...·AnBn = A1D1·A2D2·...·AnDn.
б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне
A1A2 выбраны точки
B1 и
D2, на стороне
A2A3 – точки
B2 и
D3, а на стороне
A3A1 – точки
B3 и
D1 так, что
A1B1·
A2B2·
A3B3 =
A1D1·
A2D2·
A3D3, то, построив параллелограммы
A1B1C1D1,
A2B2C2D2 и
A3B3C3D3, получим прямые
A1C1,
A2C2 и
A3C3, пересекающиеся в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.
б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
Страница:
<< 540 541 542 543
544 545 546 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
