Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 575 576 577 578 579 580 581 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56853

Тема:

[

Прямоугольные треугольники (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точка M лежит на прямой AB, причём $\angle$ AMO = $\angle$ MAD. Докажите, что точка M равноудалена от точек C и D.

Прислать комментарий Решение

Задача 56863

Тема:

[

Правильный (равносторонний) треугольник

]

Сложность: 4
Классы: 8

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.

Прислать комментарий Решение

Задача 56867

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен 120^o, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен 60^o; O — центр описанной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности, а I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что IO = IH и I_aO = I_aH.

Прислать комментарий Решение

Задача 56868

Тема:

[

Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A равен 120^o. Докажите, что из отрезков длиной a, b, b + c можно составить треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 56872

Тема:

[

Целочисленные треугольники

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² - n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n — натуральные числа.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 575 576 577 578 579 580 581 >> [Всего задач: 4557]