Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 638 639 640 641 642 643 644 >> [Всего задач: 4557]

Задача 61280

Тема:

[

Уравнения высших степеней (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду x⁴ = Ax² + Bx + C. (*)
б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде x⁴ + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²). (**)
Докажите, что для некоторого α > – ^A/₂ правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61283

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Тригонометрические замены	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < $\displaystyle {\frac{x-y}{1+xy}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61286

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Последовательность чисел {h_n} задана условиями:

h₁ = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ , h_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-h_n^2}}2}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите неравенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}$ h_k < 1, 03.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61287

Темы:	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрические замены	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Сколько корней на отрезке [0, 1] имеет уравнение 8x(1 – 2x²)(8x⁴ – 8x² + 1) = 1?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61292

Темы:	[	Рациональные функции (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрические замены	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть xy + yz + xz = 1. Докажите равенство:

$\displaystyle {\dfrac{x}{1-x^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{y}{1-y^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{z}{1-z^2}}$ = $\displaystyle {\dfrac{4xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 638 639 640 641 642 643 644 >> [Всего задач: 4557]