Страница:
<< 637 638 639 640
641 642 643 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет
а) один корень; б) два корня; в) три различных корня; г) три совпадающих корня.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет три различных корня, принадлежащих интервалу (–2, 4).
|
[Метод Виета]
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Когда 4p³ + 27q² < 0, уравнение x³ + px + q = 0 имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
а) Докажите, что при p < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = kt сводится к уравнению 4t³ – 3t – r = 0 (*) от переменной t.
б) Докажите, что при 4p³ + 27q² ≤ 0 решениями уравнения (*) будут числа t1 = cos
, t2 = cos
, t3 = cos
, где φ = arccos r.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что если уравнения x³ + px + q = 0, x³ + p'x + q' = 0 имеют общий корень, то
(pq' – qp')(p – p')² = (q – q')³.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
а) Докажите, что при 4p³ + 27q² < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = αy + β сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0 (*)
от переменной y.
б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа y1 = tg 
, y2 = tg 
, y3 = tg 
, где φ определяется из условий:
sin φ = 
, cos φ = 
.
Страница:
<< 637 638 639 640
641 642 643 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
