Страница:
<< 670 671 672 673
674 675 676 >> [Всего задач: 4557]
На неравных сторонах
AB и
AC треугольника
ABC
внешним образом построены равнобедренные треугольники
AC1B и
AB1C с углом φ при вершине.
а)
M – точка медианы
AA1 (или её продолжения), равноудаленная от точек
B1 и
C1. Докажите, что ∠
B1MC1 = φ.
б)
O – точка серединного перпендикуляра к отрезку
BC, равноудаленная от точек
B1 и
C1. Докажите, что ∠
B1OC1 = 180° – φ.
Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C1 – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника,
пересекаются в одной точке.
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или
на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α. Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает
с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен 2 cos α.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Окружность S1 вписана в угол A треугольника ABC; окружность S2 вписана в угол B и касается S1 (внешним образом); окружность S3 вписана в угол C и касается S2; окружность S4 вписана в угол A и касается S3 и т. д. Докажите, что окружность S7 совпадает с S1.
Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом
AkOAk+1 на прямых
A1A2k, A2A2k–1, ..., AkAk+1, равна R.
Страница:
<< 670 671 672 673
674 675 676 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
