Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 857 858 859 860 861 862 863 >> [Всего задач: 4557]

Задача 57943

Тема:

[

Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника ABCDEF внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 57951

Тема:

[

Поворот (прочее)

]

Сложность: 6
Классы: 9

Дан треугольник ABC. Постройте прямую, делящую пополам его площадь и периметр.

Прислать комментарий Решение

Задача 58027

Тема:

[

Центр поворотной гомотетии

]

Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что $\triangle$ ABC $\sim$ $\triangle$ A₁B₁C₁. Пары отрезков BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC₂, BCA₂, CAB₂, A₁B₁C₂, B₁C₁A₂ и C₁A₁B₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 58032

Тема:

[

Окружность подобия трех фигур

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, а также A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃ — соответственные отрезки подобных фигур F₁, F₂ и F₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, подобен треугольнику, образованному прямыми A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один из этих треугольников в другой, лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃.

Прислать комментарий Решение

Задача 58033

Тема:

[

Окружность подобия трех фигур

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть l₁, l₂ и l₃ — соответственные прямые подобных фигур F₁, F₂ и F₃, пересекающиеся в точке W.
а) Докажите, что точка W лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃.
б) Пусть J₁, J₂ и J₃ — точки пересечения прямых l₁, l₂ и l₃ с окружностью подобия, отличные от точки W. Докажите, что эти точки зависят только от фигур F₁, F₂ и F₃ и не зависят от выбора прямых l₁, l₂ и l₃.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 857 858 859 860 861 862 863 >> [Всего задач: 4557]