Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 860 861 862 863 864 865 866 >> [Всего задач: 4557]

Задача 58121

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n. Докажите, что среди углов A_iOA_j не менее n - 1 не острых.

Прислать комментарий Решение

Задача 58122

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

В окружность вписан выпуклый n-угольник A₁...A_n, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников A_pA_qA_r есть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее n - 2.

Прислать комментарий Решение

Задача 58127

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что если выпуклая фигура $\Phi$ отлична от круга, то существует фигура $\Phi{^\prime}$ , имеющая тот же периметр, что и $\Phi$ , но большую площадь.

Прислать комментарий Решение

Задача 58133

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.

Прислать комментарий Решение

Задача 58137

Тема:

[

Сумма Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть S₁ и S₂ — площади многоугольников M₁ и M₂. Докажите, что площадь S( $\lambda_{1}^{}$ , $\lambda_{2}^{}$ ) многоугольника $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S₁ + 2 $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ S₁₂ + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ S₂,

где S₁₂ зависит только от M₁ и M₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 860 861 862 863 864 865 866 >> [Всего задач: 4557]