Книги/журналы:
-
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
(556 задач)
Иванов С.В., Математический кружок
(180 задач)
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
(1254 задачи)
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
(1950 задач)
Прасолов В.В., Задачи по алгебре, арифметике и анализу
(1 задача)
Г. Полиа и Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа
(1 задача)
Журнал "Квант"
(470 задач)
Е.Г.Козлова, Сказки и подсказки
(349 задач)
V. Pantaloni, E. Southall, Geometry Snacks
(1 задача)
Фильтр
Задачи
Страница: << 861 862 863 864 865 866 867 >> [Всего задач: 4557]
а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры,
причем любые три из них имеют общую точку. Докажите,
что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).
Чему равно наибольшее число острых углов
в невыпуклом n-угольнике?
С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся
следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой AB,
где A и B — несмежные вершины, то одна из частей, на которые
контур многоугольника делится точками A и B, отражается относительно
середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких таких
операций многоугольник станет выпуклым.
Правильный треугольник разбит на n2 одинаковых правильных
треугольников (рис.). Часть из них занумерована числами
1, 2,..., m, причем треугольники
с последовательными номерами имеют смежные стороны. Докажите,
что
m
n2 - n + 1.
Триангуляцией многоугольника называют его разбиение
на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники
либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину,
либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника
не может лежать на стороне другого). Докажите, что
треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так,
что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.
Страница: << 861 862 863 864 865 866 867 >> [Всего задач: 4557]
Задача 58141 |
|
|
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).
|
|
|
Решение |
Задача 58157 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 58158 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 58186 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 58199 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 861 862 863 864 865 866 867 >> [Всего задач: 4557]
