Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 837 838 839 840 841 842 843 >> [Всего задач: 8157]

Задача 67537

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Точка $C$ лежит на биссектрисе острого угла с вершиной $S$. Точки $P$, $Q$ – проекции $C$ на стороны угла. Окружность с центром $C$ и радиусом $PQ$ пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$, причем $SA \ne SB$. Докажите, что окружность с центром $A$, касающаяся $SB$, и окружность с центром $B$, касающаяся $SA$, касаются друг друга.

Прислать комментарий Решение

Задача 67554

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Блинков А.Д.

Из бумаги вырезан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором $AB=AE$, $\angle A=\angle B=\angle E=90^{\circ}$, $BC=3$, $CD=5$, $DE=2$. Постройте перпендикуляр из $A$ на прямую $CD$, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий. Линии можно проводить только внутри пятиугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 78203

Темы:	[	Концентрические окружности	]
Темы:	[	Поворот (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Два концентрических круга поделены на 2k равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.

Прислать комментарий Решение

Задача 79248

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Наглядная геометрия в пространстве	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Грюнталь А.

Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 79354

Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Вспомогательные проекции	]

Сложность: 3+
Классы: 10

Существует ли на плоскости конечный набор различных векторов $\overrightarrow{a_1}$ , $\overrightarrow{a_2}$ , ..., $\overrightarrow{a_n}$ такой, что для любой пары различных векторов из этого набора найдётся такая другая пара из этого набора, что суммы каждой из пар равны между собой?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 837 838 839 840 841 842 843 >> [Всего задач: 8157]