Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 908 909 910 911 912 913 914 >> [Всего задач: 8157]

Задача 65240

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Голованов А.С., Якубов А.

Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65243

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Якубов А.

Дан параллелограмм ABCD, в котором AB < AC < BC. Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что ∠ABF = ∠DCE. Найдите угол ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65251

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Пусть n > 1 – натуральное число. Выпишем дроби ¹/_n, ²/_n, ..., ^n–1/_n и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через f(n). При каких натуральных n > 1 числа f(n) и f(2015n) имеют разную чётность?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65262

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Итоговый балл в фигурном катании выставляется следующим образом. Бригада судей состоит из десяти человек. Каждый из судей ставит спортсмену свою оценку за выступление. После этого из десяти полученных оценок случайным образом выбираются семь. Сумма этих семи оценок и есть итоговый балл. Места между спортсменами распределяются в соответствии с набранным итоговым баллом: чем выше балл, тем лучше результат. В чемпионате участвовало 6 спортсменов. Могло ли оказаться так, что:
а) спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок максимальна, занял последнее место?
б) спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок максимальна, занял последнее место, а спортсмен, у которого сумма всех 10 оценок минимальна, занял первое место?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65263

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Системы алгебраических нелинейных уравнений	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Можно ли:
а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения "орла" и "решки" были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций "решка, решка", "орел, решка", "орел, орел" были бы одинаковы?
б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 908 909 910 911 912 913 914 >> [Всего задач: 8157]