Страница:
<< 963 964 965 966
967 968 969 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Точка $M$ лежит внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ и $CD$ и на одинаковом расстоянии от прямых $BC$ и $AD$.
Оказалось, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $MA\cdot MC + MB\cdot MD$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$
а) вписанный;
б) описанный.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Даны две окружности, пересекающиеся в точках $P$ и $Q$. Произвольная прямая $l$, проходящая через $Q$, повторно пересекает окружности в точках $A$ и $B$.
Прямые, касающиеся окружностей в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $C$, а биссектриса угла $CPQ$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Докажите, что все точки $D$, которые можно так получить, выбирая по-разному прямую $l$, лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Для каких $N$ можно расставить в клетках квадрата N×N действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от 1 до $2(N - 1)N$ включительно (ровно по одному разу)?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
К Ивану на день рождения пришли 2$N$ гостей. У Ивана есть $N$ чёрных и $N$ белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(2N)!$ различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в двух точках $X_{1}$ и $Y_{1}$. Окружности с диаметрами $ВС$ и $АD$ пересекаются в двух точках $X_{2}$ и $Y_{2}$. Окружности с диаметрами $AС$ и $ВD$ пересекаются в двух точках $X_{3}$ и $Y_{3}$. Докажите, что прямые $X_{1}Y_{1}, X_{2}Y_{2}, X_{3}Y_{3}$ пересекаются в одной точке.
Страница:
<< 963 964 965 966
967 968 969 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
