соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 964 965 966 967 968 969 970 >> [Всего задач: 8157]
Две окружности пересекаются в точках $P$ и $R$. Через точку $P$ проведены прямые $l_1$, $l_2$. Прямая $l_1$ вторично пересекает окружности в точках $A_1$ и $B_1$. Касательные в этих точках к описанной окружности треугольника $A_1RB_1$ пересекаются в точке $C_1$. Прямая $C_1R$ пересекает $A_1B_1$ в точке $D_1$. Аналогично определены точки $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$. Докажите, что окружности $D_1D_2P$ и $C_1C_2R$ касаются.
В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $I$, касающаяся сторон $CA$, $AB$ в точках $E$, $F$ соответственно. Точки $M$, $N$ на прямой $EF$ таковы, что $CM=CE$ и $BN=BF$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ делит пополам отрезок $MN$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $P$ выбрана так, что $AP=AB$ и $PB \parallel AC$. Точка $Q$ выбрана так, что $AQ=AC$ и $CQ \parallel AB$. Отрезки $CP$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на окружности $(PXQ)$.
Страница: << 964 965 966 967 968 969 970 >> [Всего задач: 8157]
Задача 66893 |
|
|
На клетчатой доске лежат доминошки, не касаясь даже углами. Каждая доминошка занимает две соседние (по стороне) клетки доски. Нижняя левая и правая верхняя клетки доски свободны. Всегда ли можно пройти из левой нижней клетки в правую верхнюю, делая ходы только вверх и вправо на соседние по стороне клетки и не наступая на доминошки, если доска имеет размеры
а) $100\times101$ клеток;
б) $100\times100$ клеток?
|
|
|
Решение |
Задача 66920 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66943 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66964 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66965 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 964 965 966 967 968 969 970 >> [Всего задач: 8157]
