Страница:
<< 1018 1019 1020 1021
1022 1023 1024 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
В таблицу записано девять чисел:
Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:
a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3.
Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её
столбцов:
a1b1c1 +
a2b2c2 +
a3b3c3 =
a1a2a3 +
b1b2b3 +
c1c2c3.
На доске написано несколько целых положительных чисел: a0, a1, a2, ... , an. Пишем на другой доске следующие числа: b0 – сколько всего чисел на первой доске, b1 – сколько там чисел, больших единицы, b2 – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c0, c1, c2, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b0, b1, b2, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8
|
На плоскости нарисован чёрный равносторонний треугольник. Имеется девять
треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на
плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя
бы часть чёрного треугольника (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?
а) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать восемь чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких девяти из выписанных на доске чисел.
б) На доске выписано 100 целых чисел. Известно, что для любых
восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее
арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти
чисел. Докажите, что все числа равны.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Даны 32 одинаковые по виду монеты. Известно, что среди них есть ровно две фальшивые, которые отличаются от остальных по весу (настоящие монеты равны по весу, и фальшивые монеты также равны по весу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более четырёх взвешиваний на чашечных весах без гирь?
Страница:
<< 1018 1019 1020 1021
1022 1023 1024 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
