Страница:
<< 1045 1046 1047 1048
1049 1050 1051 >> [Всего задач: 8157]
Из точки O, лежащей внутри выпуклого n-угольника A1A2...An, проведены отрезки ко всем вершинам: OA1, OA2, ..., OAn . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n-угольника – острые, причём
∠OA1An ≤ ∠OA1A2, ∠OA2A1 ≤ ∠OA2A3, ...,
∠OAn–1An–2 ≤ ∠OAn–1An, ∠OAnAn–1 ≤ ∠OAnA1. Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n-угольник.
На плоскости расположено такое конечное множество точек M, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом
отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка.
Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB и CD парой
противоположных сторон AC и BD четырёхугольника ACBD. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д.
Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?
Точки P1, P2, ..., Pn–1 делят сторону BC равностороннего треугольника ABC на n равных частей: BP1 = P1P2 = ... = Pn–lC. Точка M выбрана на стороне AC так, что AM = BP1.
Докажите, что ∠
AP1M + ∠
AP2M + ... + ∠
APn–1M = 30°, если
а)
n = 3;
б)
n – произвольное натуральное число.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Лист железа треугольной формы весит 900 г.
Доказать, что любая прямая, проходящая через его центр тяжести, делит треугольник на части, каждая из которых весит не менее 400 г.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Можно ли из геометрической прогрессии 1, ½, ¼, ⅛, ... выделить геометрическую прогрессию с суммой членов, равной а) 1/7; б) ⅕?
Страница:
<< 1045 1046 1047 1048
1049 1050 1051 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
