Страница: << 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65827

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите наибольшее натуральное число N, для которого уравнение  99x + 100y + 101z = N  имеет единственное решение в натуральных числах x, y, z.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65828

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

У Карлсона есть 1000 банок с вареньем. Банки не обязательно одинаковые, но в каждой не больше чем сотая часть всего варенья. На завтрак Карлсон может съесть поровну варенья из любых 100 банок. Докажите, что Карлсон может действовать так, чтобы за некоторое количество завтраков съесть всё варенье.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65855

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На биссектрисе AA₁ треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B₁, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C₁. Отрезки A₁B₁ и CC₁ пересекаются в точке P, а отрезки A₁C₁ и BB₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65875

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан правильный 2n-угольник A₁A₁...A_2n с центром O, причём  n ≥ 5.  Диагонали A₂A_n–1 и A₃A_n пересекаются в точке F, а A₁A₃ и A₂A_2n–2 – в точке P.
Докажите, что  PF = PO.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65879

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Птолемея ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями