Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1177 1178 1179 1180 1181 1182 1183 >> [Всего задач: 8157]

Задача 66930

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Швецов Д.В., Зайцева Ю.

Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 66942

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия (ГМТ)	]
	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кухарчук И.

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66944

Тема:

[

Изогональное сопряжение

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Рябов П.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведен луч $l$ из вершины $B$. На луче внутри треугольника взяты точки $P$ и $Q$ так, что $\angle BAP=\angle QCA$. Докажите, что $\angle PAQ=\angle PCQ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66947

Темы:	[	Построения (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Пятиугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Во вписанном пятиугольнике отметили середины четырех сторон, после чего сам пятиугольник стерли. Восстановите его.

Прислать комментарий Решение

Задача 66951

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Mudgal A., Tejaswi N.V.

Дан вписанный пятиугольник $APBCQ$. Точка $M$ внутри треугольника $ABC$ такова, что $\angle MAB=\angle MCA$, $\angle MAC=\angle MBA$ и $\angle PMB=\angle QMC=90^{\circ}$. Докажите, что прямые $AM$, $BP$ и $CQ$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1177 1178 1179 1180 1181 1182 1183 >> [Всего задач: 8157]