Страница:
<< 1234 1235 1236 1237
1238 1239 1240 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника
действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Даны два набора чисел: a1, ..., an и b1, ..., bn. Расположим числа ak в возрастающем порядке, а числа bk – в убывающем порядке. Получатся наборы
A1 ≤ ... ≤ An, B1 ≥ ... ≥ Bn. Доказать, что max{a1 + b1, ..., an + bn} ≥ max{A1 + B1, ..., An + Bn}.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги.
Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка,
стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к
дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в
которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе
проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах
было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было
восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено
одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать
из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в
любую другую точку.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Пусть K(x) равно числу таких несократимых дробей a/b, что a < x и b < x (a и b – натуральные числа). Например, K(5/2) = 3 (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму K(100) + K(100/2) + K(100/3) + ... + K(100/99) + K(100/100).
Страница:
<< 1234 1235 1236 1237
1238 1239 1240 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
