Страница:
<< 1235 1236 1237 1238
1239 1240 1241 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых
не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |bc – ad| = 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На всех клетках шахматной доски 8×8 расставлены натуральные числа.
Разрешается выделить любой квадрат размером 3×3 или 4×4 и
увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций
добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли это удастся
сделать?
Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на
противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50
клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого
нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз
переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается
двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой
из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку.
Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое
наименьшее значение она может принимать?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Многочлен P(x) с целыми коэффициентами при некоторых целых x принимает значения 1, 2 и 3.
Доказать, что существует не более одного целого x, при котором значение этого многочлена равно 5.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?
Страница:
<< 1235 1236 1237 1238
1239 1240 1241 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
