Страница:
<< 1297 1298 1299 1300
1301 1302 1303 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа k, не превосходящего числа монет как в первой, так и во второй кучке, суммарный вес k самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса k самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменить каждую монету, вес которой не меньше x, на монету веса
x (в обеих кучках), то первая кучка монет окажется не легче второй,
каково бы ни было положительное число x.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида x² + px + q, где p, q – целые, 1 ≤ p ≤ 1997, 1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P. Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечётное число вершин.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Решите в целых числах уравнение (x² – y²)² = 1 + 16y.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
Страница:
<< 1297 1298 1299 1300
1301 1302 1303 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
