Страница: << 1296 1297 1298 1299 1300 1301 1302 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109585

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Найдите свободный член многочлена P(x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и  P(19) = P(94) = 1994.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109601

Темы:   [ Высота пирамиды (тетраэдра) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Сферы (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении   2 : 1,  считая от вершин, лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109605

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Последовательности (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Последовательность натуральных чисел a_i такова, что  НОД(a_i, a_j) = НОД(i, j)  для всех  i ≠ j.  Докажите, что  a_i = i  для всех  i ∈ N.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109612

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Периодические и непериодические дроби ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109624

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Вспомогательные проекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты. Разрешается сдвинуть любую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных фишек. Докажите, что несколькими такими перемещениями можно совместить любые две наперед заданные фишки.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1296 1297 1298 1299 1300 1301 1302 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями