Страница:
<< 1328 1329 1330 1331
1332 1333 1334 >> [Всего задач: 8157]
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P ≠ H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC
и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O.
Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Найдите все такие тройки действительных чисел x, y, z, что 1 + x4 ≤ 2(y – z)² 1 + y4 ≤ 2(z – x)², 1 + z4 ≤ 2(x – y)².
Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках X и Y соответственно. Точка K– середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC (не содержащей точки C). Оказалось, что прямая XY делит отрезок AK пополам. Чему может быть равен угол BAC?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x + 1 или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
Страница:
<< 1328 1329 1330 1331
1332 1333 1334 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
