Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1436 1437 1438 1439 1440 1441 1442 >> [Всего задач: 8157]

Задача 109939

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A – количество черных отрезков на периметре, B – количество белых, и пусть многоугольник состоит из a черных и b белых клеток. Докажите, что A-B=4(a-b) .

Прислать комментарий Решение

Задача 110001

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Голованов А.С., Сопкина Е.

Клетки квадрата 50×50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (т.е. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета (не обязательно соседние с этой клеткой).

Прислать комментарий Решение

Задача 110004

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Дольников В.Л., Игонин С.

В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n-3 точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих n-3 точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 110026

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Тухвебер С.

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+a_n3=(a1+a2+..+a_n)2.
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110035

Темы:	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]
	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Знак Е.

Существует ли функция f(x) , определенная при всех x и для всех x,y удовлетворяющая неравенству

|f(x+y)+ sin x+ sin y|<2?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1436 1437 1438 1439 1440 1441 1442 >> [Всего задач: 8157]