Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1457 1458 1459 1460 1461 1462 1463 >> [Всего задач: 8157]

Задача 79498

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79501

Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

Прислать комментарий Решение

Задача 79620

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?

Прислать комментарий Решение

Задача 86092

Тема:

[

Математическая логика (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 6,7

В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: "Он - хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят.
Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело
а) девять;
б) десять
жителей Пустоземья. Объясните своё решение.

Прислать комментарий Решение

Задача 105056

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Осьмова Е.Н.

Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1457 1458 1459 1460 1461 1462 1463 >> [Всего задач: 8157]