Страница:
<< 1527 1528 1529 1530
1531 1532 1533 >> [Всего задач: 8157]
Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа.
Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA, AB в точках A', B', C' соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра I этой окружности на медиану CM, пересекает прямую A'B' в точке K. Докажите, что CK || AB.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B0 и C0 соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC0 и QB0 пересекаются на прямой BC.
б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B1 и C1 – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O1C1 и O2B1 пересекаются на прямой BC.
в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б), совпадают.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Володя решил стать великим писателем. Для этого он каждой букве русского языка сопоставил слово, содержащее эту букву. Потом написал слово, сопоставленное букве "A". Дальше каждую букву в нем заменил на сопоставленное ей слово (разделяя слова пробелами), потом в получившемся тексте вновь заменил каждую букву на сопоставленное ей слово, и так всего 40 раз. Володин текст начинается так: "РЯД КОРАБЛЕЙ НА ДРЕМЛЮЩИХ МОРЯХ". Докажите, что этот оборот встречается в Володином тексте еще хотя бы раз.
Страница:
<< 1527 1528 1529 1530
1531 1532 1533 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
