Страница:
<< 1529 1530 1531 1532
1533 1534 1535 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В некотором государстве ценятся золотой и платиновый песок. Золото можно менять на платину, а платину на золото по курсу, который определяется натуральными числами g и p так: x граммов золотого песка равноценны y граммам платинового, если xp = yg (числа x и y могут быть нецелыми). Сейчас у банкира есть по килограмму золотого и платинового песка, а g = p = 1001. Государство обещает каждый день уменьшать одно из чисел g и p на единицу, так что через 2000 дней они оба станут единицами; но последовательность уменьшений неизвестна. Может ли банкир каждый день менять песок так, чтобы в конце гарантированно получить хотя бы по 2 кг каждого песка?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана особой, если для нее найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на
этой планете?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a0, a1, ..., an, что an = a и ai+1 = ai – S(ai) при всех i = 0, 1, ..., n – 1. Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Даны натуральные числа a и b, причём a < b < 2a. На клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в каждом клетчатом прямоугольнике a×b или b×a есть хотя бы одна отмеченная клетка. При каком наибольшем α можно утверждать, что для любого натурального N найдётся клетчатый квадрат N×N, в котором отмечено хотя бы αN² клеток?
Страница:
<< 1529 1530 1531 1532
1533 1534 1535 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
