Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1532 1533 1534 1535 1536 1537 1538 >> [Всего задач: 8157]

Задача 66202

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Итерации	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Толпыго А.К.

Дано иррациональное число α, 0 < α < ½. По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и 1 – 2α. По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.
а) Докажите, что α_n < ³/₁₆ для некоторого n .
б) Может ли случиться, что α_n > ⁷/₄₀ при всех натуральных n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66251

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Поворот и винтовое движение	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	ГМТ в пространстве (прочее)	]
	[	Барицентрические координаты	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁; A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁; B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66317

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Построения одной линейкой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66471

Темы:	[	Шестиугольники	]
Темы:	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Косухин О.Н.

На сторонах выпуклого шестиугольника ABCDEF во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC₁, BCD₁, CDE₁, DEF₁, EFA₁ и FAB₁. Оказалось, что треугольник B₁D₁F₁ – равносторонний. Докажите, что треугольник A₁C₁E₁ также равносторонний.

Прислать комментарий Решение

Задача 66476

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Берштейн М.А., Гавриленко П.

Назовем расстановку n единиц и m нулей по кругу хорошей, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных n, m существует хорошая расстановка?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1532 1533 1534 1535 1536 1537 1538 >> [Всего задач: 8157]