соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1535 1536 1537 1538 1539 1540 1541 >> [Всего задач: 8157]
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?
В лаборатории на полке стоят 120 внешне неразличимых пробирок, в 118 из которых находится нейтральное вещество, в одной – яд и в одной – противоядие. Пробирки случайно перемешались, и нужно найти пробирку с ядом и пробирку с противоядием. Для этого можно воспользоваться услугами внешней тестирующей лаборатории, в которую одновременно отправляют несколько смесей жидкостей из любого числа пробирок (по одной капле из пробирки), и для каждой смеси лаборатория сообщит результат: $+1$, если в смеси есть яд и нет противоядия; $-1$, если в смеси есть противоядие, но нет яда; 0 в остальных случаях.
Можно ли, подготовив 19 таких смесей и послав их в лабораторию единой посылкой, по сообщенным результатам гарантированно определить, в какой пробирке яд, а в какой противоядие?
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$,
удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение
\begin{align*}
&a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\
\ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0
\end{align*}
имеет хотя бы один действительный корень.
Страница: << 1535 1536 1537 1538 1539 1540 1541 >> [Всего задач: 8157]
Задача 66595 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66599 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66604 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66612 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66616 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1535 1536 1537 1538 1539 1540 1541 >> [Всего задач: 8157]
