Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1538 1539 1540 1541 1542 1543 1544 >> [Всего задач: 8157]

Задача 66790

Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

Прислать комментарий Решение

Задача 66807

Тема:

[

Радикальная ось

]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Фролов И.И.

В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66811

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Bhattacharya A.

Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66812

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что сумма двух нагелиан больше полупериметра треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 66815

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Пусть $P$ – произвольная точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$, $K$ – центр вписанной окружности треугольника $PAB$, а $F$ – точка касания вписанной окружности треугольника $PAC$ со стороной $BC$. Точка $G$ на $CK$ такова, что $FG\parallel PK$. Найдите геометрическое место точек $G$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1538 1539 1540 1541 1542 1543 1544 >> [Всего задач: 8157]