Страница:
<< 1528 1529 1530 1531
1532 1533 1534 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
a) синий кубик только один;
б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Поверхность выпуклого многогранника
A1B1C1A2B2C2 состоит из восьми треугольных граней AiBjCk, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A1A2, B1B2 и C1C2 лежат в одной плоскости.
В треугольнике ABC ALa и AMa – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ωa – окружность, симметричная описанной окружности Ωa треугольника ALaMa относительно середины BC. Окружность ωb определена аналогично. Докажите, что ωa и ωb касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть I и J – центры окружностей, вписанных в треугольники ABC и ADC соответственно, а Ia и Ja – центры вневписанных окружностей треугольников ABC и ADC, вписанных в углы BAC и DAC соответственн). Докажите, что точка K пересечения прямых IJa и JIa лежит на биссектрисе угла BCD.
Выпуклый фанерный многоугольник P лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через P, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать P по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.
Страница:
<< 1528 1529 1530 1531
1532 1533 1534 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
