Страница:
<< 1567 1568 1569 1570
1571 1572 1573 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из каждого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (то есть такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка
поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих
передвижений).
а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рисунке,
надёжна.
б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть
надёжными после разрушения любой из траншей.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В круговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных один
раз. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше чем проигравший. (Победа даёт 1 очко, ничья – ½, поражение – 0.) Могут ли неправильные партии составлять
а) более 75% от общего количества партий в турнире;
б) более 70%?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Можно ли расположить бесконечное число равных выпуклых
многогранников в слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, так чтобы
ни один многогранник нельзя было вынуть из слоя, не сдвигая остальных?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим
образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше
половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме
последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну;
если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы
заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из
кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова
голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за
одного и того же кандидата из числа оставшихся.
На очередных выборах
баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре
k-е место по числу голосов. Определите наибольшее возможное значение
k, если Остап Бендер был избран
а) в 1002-м туре;
б) в 1001-м
туре.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый
цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и
множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными
коэффициентами подобия)?
Страница:
<< 1567 1568 1569 1570
1571 1572 1573 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
