Страница:
<< 100 101 102 103
104 105 106 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Квадрат разбит на n² ≥ 4 прямоугольников 2(n – 1) прямыми, из которых n – 1 параллельны одной стороне квадрата, а остальные n – 1 – другой. Докажите, что можно выбрать 2n прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Окружность ω вписана в треугольник ABC, в котором AB < AC. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке A'. Точка X выбирается на отрезке A'A так, что отрезок A'X не пересекает ω. Касательные, проведённые из X к ω, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма XY + XZ не зависит от выбора точки X.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На клетчатый лист бумаги размера 100×100 положили несколько попарно неперекрывающихся картонных равнобедренных прямоугольных треугольничков с катетом 1; каждый треугольничек занимает ровно половину одной из клеток. Оказалось, что каждый единичный отрезок сетки (включая граничные) накрыт ровно одним катетом треугольничка. Найдите наибольшее возможное число клеток, не содержащих ни одного треугольничка.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В стране есть n > 1 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиарейсами. При этом между каждыми двумя городами существует единственный авиамаршрут (возможно, с пересадками). Мэр каждого города X подсчитал количество таких нумераций всех городов числами от 1 до n, что на любом авиамаршруте, начинающемся в X, номера городов идут в порядке возрастания. Все мэры, кроме одного, заметили, что их результаты подсчётов делятся на 2016. Докажите, что и у оставшегося мэра результат также делится на 2016.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC медианы AMA, BMB и CMC пересекаются в точке M. Построим окружность ΩA, проходящую через середину отрезка AM и касающуюся отрезка BC в точке MA. Аналогично строятся окружности ΩB и ΩC. Докажите, что окружности ΩA, ΩB и ΩC имеют общую точку.
Страница:
<< 100 101 102 103
104 105 106 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
