ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109625  (#96.5.10.3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых взаимно простых x и y и натуральном  k > 1,  выполняется равенство  3n = xk + yk.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109626  (#96.5.10.4)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Неравенства. Метод интервалов ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мусин О.

Докажите, что если числа a1, a2, ..., am  отличны от нуля и для любого целого  k = 0, 1, ..., n  (n < m – 1)  выполняется равенство:
a1 + a2·2k + a3·3k + ... + ammk = 0,  то в последовательности a1, a2, ..., am  есть по крайней мере  n + 1  пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109627  (#96.5.10.5)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Куб ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждом его ребре – наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на рёбрах?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109628  (#96.5.10.6)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Во взводе служат три сержанта и несколько солдат. Сержанты по очереди дежурят по взводу. Командир издал такой приказ.
  1. За каждое дежурство должен быть дан хотя бы один наряд вне очереди.
  2. Никакой солдат не должен иметь более двух нарядов и получать более одного наряда за одно дежурство.
  3. Списки получивших наряды ни за какие два дежурства не должны совпадать.
  4. Сержант, первым нарушивший одно из изложенных выше правил, наказывается гауптвахтой.
Сможет ли хотя бы один из сержантов, не сговариваясь с другими, давать наряды так, чтобы не попасть на гауптвахту?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109629  (#96.5.10.7)

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]
[ Покрытия ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .