ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 109616  (#96.5.11.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
[ Показательные неравенства ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до n ( n>1 ), одинаково читаться слева направо и справа налево?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109617  (#96.5.11.2)

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Монотонность, ограниченность ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109618  (#96.5.11.3)

Темы:   [ Свойства сечений ]
[ Пирамида (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Перебор случаев ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Докажите, что при  n ≥ 5  сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109626  (#96.5.11.4)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Неравенства. Метод интервалов ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мусин О.

Докажите, что если числа a1, a2, ..., am  отличны от нуля и для любого целого  k = 0, 1, ..., n  (n < m – 1)  выполняется равенство:
a1 + a2·2k + a3·3k + ... + ammk = 0,  то в последовательности a1, a2, ..., am  есть по крайней мере  n + 1  пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109619  (#96.5.11.5)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .