Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]

Задача 110151 (#04.4.11.7)

Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

sin nα + sin nβ + sin nγ<0?

Прислать комментарий

Решение

Задача 110152 (#04.4.11.8)

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Симметрия относительно плоскости	]
	[	Движение помогает решить задачу	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Берлов С.Л.

Дана треугольная пирамида ABCD . Сфера S₁ , проходящая через точки A , B , C , пересекает ребра AD , BD , CD в точках K , L , M соответственно; сфера S₂ , проходящая через точки A , B , D , пересекает ребра AC , BC , DC в точках P , Q , M соответственно. Оказалось, что KL|| PQ . Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают.

Прислать комментарий Решение

Задача 109808 (#04.5.9.1)

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Берлов С.Л.

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Прислать комментарий Решение

Задача 109809 (#04.5.9.2)

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Прислать комментарий Решение

Задача 109810 (#04.5.9.3)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков– белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какие-нибудь две коробочки, в которых лежат белые шарики?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]