Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
1996-1997
>>
Региональный этап
>>
9 Класс
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Юра записал четырёхзначное число. Лёня прибавил к первой цифре этого числа 1, ко второй 2, к третьей 3 и к четвёртой 4, а потом перемножил полученные суммы. У Лёни получилось 234. Какое число могло быть записано Юрой?
а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").
В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.
Из шахматной доски 8×8 вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как черные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?
а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?
б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке.
У Карабаса-Барабаса есть большой участок земли в форме выпуклого 12-угольника, в вершинах которого стоят фонари. Карабасу-Барабасу нужно поставить внутри участка некоторое конечное число фонарей, разделить его на треугольные участки с вершинами в фонарях и раздать эти участки актёрам театра. При этом каждый внутренний фонарь должен освещать не менее шести треугольных участков (фонарь светит недалеко, только на те участки, в вершине которых стоит). Какое максимальное количество треугольных участков может раздать Карабас-Барабас актёрам?
На сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM, CBP, CDL и ADK (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что PK = ML.
В спорткомплексе 99 шкафчиков с номерами от 01 до 99. На браслете с ключом цифры написаны по образцу на рисунке:
По браслету непонятно, где низ, а где верх, и поэтому иногда нельзя однозначно определить номер своего шкафчика (например, браслеты, соответствующие номерам 10 и 01, выглядят одинаково). Мише выдали один из ключей. В скольких случаях из 99 он, посмотрев на браслет, не сможет однозначно определить номер своего шкафчика?
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 108177 (#97.4.9.1) |
|
|
Правильный 1997-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один – остроугольный.
|
|
Решение |
Задача 109922 (#97.4.9.2) |
|
|
На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?
|
|
|
Решение |
Задача 109923 (#97.4.9.3) |
|
|
а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.
б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.
|
|
|
Решение |
Задача 109924 (#97.4.9.4) |
|
|
Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.
|
|
|
Решение |
Задача 109925 (#97.4.9.5) |
|
|
Дан набор, состоящий из таких 1997 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
