Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]

Задача 110771

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Диагональ правильного 2006-угольника P называется хорошей, если её концы делят границу P на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны P также называются хорошими. Пусть P разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри P. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?

Прислать комментарий

Решение

Задача 110751

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Выпуклый анализ и линейное программирование	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Каждой стороне b выпуклого многоугольника P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в P, одна из сторон которых совпадает с b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам P, не меньше удвоенной площади многоугольника P.

Прислать комментарий Решение

Задача 111044

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Малая теорема Ферма	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида n^p – p не делятся на q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110748

Темы:	[	Выпуклый анализ и линейное программирование	]
Темы:	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 6-
Классы: 10,11

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

Прислать комментарий

Решение

Задача 110749

Темы:	[	Прямая Симсона	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. A ∈ l, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]