Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 915]

Задача 67206

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Марданов А.

Пусть $L$ – середина меньшей дуги $AC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Из вершины $B$ на касательную к описанной окружности, проведённую в точке $L$, опустили перпендикуляр $BP$. Докажите, что точки $P$, $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67363

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Окружность $\omega$ касается прямых $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Произвольная касательная к $\omega$ пересекает $a$ и $b$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Точки $X'$ и $Y'$ симметричны точкам $X$ и $Y$ относительно $A$ и $B$ соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности на $X'Y'$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67526

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Щербатов Я.

Пусть $AL$ – биссектриса треугольника $ABC$; $X$ – произвольная точка на внешней биссектрисе угла $A$; прямые $BX$, $CX$ пересекают серединный перпендикуляр к $AL$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $X$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67534

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Даны окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $M$ – середина отрезка, соединяющего их центры. На $\omega_1$ выбрана точка $X$, а на $\omega_2$ – точка $Y$ так, что $MX = MY$. Найдите геометрическое место середин отрезков $XY$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67535

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Многоугольники (экстремальные свойства)	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Дан выпуклый $2n$-угольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны друг другу. (Стороны противоположны, если при движении от одной к другой по контуру $2n$-угольника нужно пройти $n - 1$ других сторон.) Пару противоположных сторон назовём правильной, если у них есть общий перпендикуляр, концы которого принадлежат самим сторонам, а не их продолжениям. Каково наименьшее возможное количество правильных пар?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 915]