Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 915]

Задача 67096

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, точка $T$ такова, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $T$, повторно пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что точки $K$ и $L$ равноудалены от прямой $AT$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67209

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Ивлев Ф., Марданов А.

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $\angle BED = 3\angle BDE$. Точка $D'$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$. Докажите, что прямая $D'E$ проходит через точку пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67345

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Биссектрисы $AA_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$, в котором $\angle B=60^{\circ}$, пересекаются в точке $I$. Описанные окружности треугольников $ABC$, $A_1IC_1$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ проходит через середину стороны $AC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67536

Темы:	[	Инверсия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

На биссектрисе угла $B$ внутри треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ – окружности, касающиеся прямых $AD$ и $CD$ в точке $D$ и проходящие через точку $B$; $P$ и $Q$ – отличные от $B$ точки пересечения $\omega_1$ и $\omega_2$ с описанной окружностью $ABC$. Докажите, что описанные окружности треугольников $PQD$ и $ACD$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 67539

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Формула Эйлера	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Пучков П., Уткин Е.

Пусть $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$; $D$, $E$, $F$ – точки касания его вневписанной окружности со стороной $BC$ и продолжениями сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что если ортоцентр треугольника $DEF$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то он симметричен середине дуги $BC$ относительно прямой $OI$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 915]