Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 149 150 151 152 153 154 155 >> [Всего задач: 915]

Задача 67350

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Dong L.

Окружность $\omega$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается его сторон $BC, CA$ и $AB$ в точках $D, E$ и $F$ соответственно. Точка $M$ на луче $EF$ такова, что $EM = AB$. Точка $N$ на луче $FE$ такова, что $FN = AC$. Окружности $BFM$ и $CEN$ повторно пересекают $\omega$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Докажите, что прямые $BS, CT$ и $AD$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67351

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $I_a$ – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$; $I'_a$ – точка, симметричная $I_a$ относительно прямой $AA_1$. Аналогично построим точки $I'_b$, $I'_c$. Докажите, что прямые $A_1I'_a$, $B_1I'_b$, $C_1I'_c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67357

Темы:	[	Прямоугольный тетраэдр	]
	[	Теорема Пифагора в пространстве	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Tran Quang Hung, Dergiados N.

В пирамиде $SABC$ все углы при вершине $S$ прямые. Точки $A'$, $B'$, $C'$ на ребрах $SA$, $SB$, $SC$ соответственно таковы, что треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны. Верно ли, что плоскости $ABC$ и $A'B'C'$ параллельны?

Прислать комментарий Решение

Задача 67368

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямая Гаусса	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Шатунов Л., Шеломовский В.

Пусть $(P,P')$ и $(Q,Q')$ – две пары точек, изогонально сопряженных относительно треугольника $ABC$, $R$ – точка пересечения прямых $PQ$ и $P'Q'$. Докажите, что педальные окружности точек $P$, $Q$ и $R$ соосны.

Прислать комментарий Решение

Задача 67369

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Пучков П.

Для каких $n>0$ можно отметить на плоскости несколько различных точек и несколько различных окружностей так, чтобы были выполнены следующие условия:

- через каждую отмеченную точку проходит ровно $n$ отмеченных окружностей;

- на каждой отмеченной окружности лежит ровно $n$ отмеченных точек;

- у каждой отмеченной окружности отмечен еe центр?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 149 150 151 152 153 154 155 >> [Всего задач: 915]