Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 151 152 153 154 155 156 157 >> [Всего задач: 915]

Задача 111715

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I . Докажите, что проекции точек B и D на прямые IA и IC лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 111716

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Даны четыре точки A , B , C , D . Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через A и B , а другая — через C и D , пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 111718

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC . Вневписанная окружность касается его стороны BC в точке A₁ и продолжений двух других сторон. Другая вневписанная окружность касается стороны AC в точке B₁ . Отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются в точке N . На луче AA₁ отметили точку P , такую что AP=NA₁ . Докажите, что точка P лежит на вписанной в треугольник окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 111719

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?

Прислать комментарий Решение

Задача 66976

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Прямая Гаусса	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Dadgarnia A.

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$ с центром $I$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, $AB$ и $CD$ – в точке $E$, $AD$ и $BC$ – в точке $F$. Точка $K$ на описанной окружности треугольника $EIF$ такова, что $\angle IKP=90^{\circ}$. Луч $PK$ пересекает $\omega$ в точке $Q$. Докажите, что описанная окружность треугольника $EQF$ касается $\omega$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 151 152 153 154 155 156 157 >> [Всего задач: 915]