Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 48]
Задача
115873
(#17)
|
|
Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11
|
Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A1, B1, C1 – проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на, соответственно, B2C2, C2A2,
A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.
Задача
115874
(#18)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
На плоскости даны три параллельные прямые.
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.
Задача
115875
(#19)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
Дан выпуклый n-угольник A1...An.
Пусть Pi (i = 1, ..., n) – такая точка на его границе, что прямая AiPi делит его площадь пополам. Известно, что все точки Pi не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково а) наименьшее; б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?
Задача
115877
(#20)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
В остроугольном треугольнике ABC точка H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, AA1, BB1 и CC1 – высоты. Точка C2 симметрична C относительно A1B1. Докажите, что H, O, C1 и C2 лежат на одной окружности.
Задача
115878
(#21)
|
|
Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11
|
Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма.
Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.
Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 48]