ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



Задача 64429  (#9.4.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Взаимное расположение двух окружностей ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан остроугольный треугольник АВС. Точки B' и C' симметричны его вершинам В и С относительно прямых АС и АВ соответственно. Описанные окружности треугольников АВВ' и ACC', вторично пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая АР проходит через центр O описанной окружности треугольника АВС.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64430  (#9.4.3)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Перебор случаев ]
[ Инварианты ]
[ Признаки делимости на 5 и 10 ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На экране компьютера – число 141. Каждую секунду компьютер перемножает все цифры числа на экране, полученное произведение либо прибавляет к этому числу, либо вычитает из него, а результат появляется на экране вместо исходного числа. Появится ли еще когда-нибудь на экране число 141?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64431  (#9.5.1)

Темы:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Верно ли, что  262 + 1  делится на  231 + 216 + 1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64432  (#9.5.2)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD отметили точки E и F, так что AFCE – ромб. Известно, что  АВ = 16,  ВС = 12.  Найдите EF.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64433  (#9.5.3)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Средние величины ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .