-
Региональный этап
(22 задачи)
Заключительный этап
(21 задача)
Фильтр
Выбрано 3 задачи Убрать все задачи
Окружности S1 и S2 пересекаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S1 в точке B, S2 в точке C. В точках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через A.
РешениеНа плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости а) 7 кругов; б) 6 кругов, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее трёх кругов?
РешениеМожет ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?
Решение
Задачи
Задача 64626 (#10.1) |
|
|
Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.
Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.
|
|
Решение |
Задача 64634 (#11.1) |
|
|
Дан выпуклый семиугольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого семиугольника найдутся четыре равных угла.
|
|
|
Решение |
Задача 64618 (#9.1) |
|
|
Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.
Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?
|
|
|
Решение |
Задача 64761 (#9.1) |
|
|
По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.
|
|
|
Решение |
Задача 64769 (#10.1) |
|
|
Назовём натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа.
Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
