Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 64719 (#1)

Тема:

[

Квадратные уравнения. Теорема Виета

]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Жуков Г.

Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c принимает в точках ¹/_a и c значения разных знаков.
Докажите, что корни трёхчлена f(x) имеют разные знаки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64714 (#2)

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное k, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять k белых и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64721 (#3)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что ∠ABM = ∠MQP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64722 (#4)

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Пахарев А.

Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64723 (#5)

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кноп К.А.

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]