Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
2021 год
>>
11 класс. Первый день
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую — то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0?
Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству
$$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$
Точка $M$ – середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $AC$ – в точке $E$. Пусть $X$ и $Y$ – середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $MXY$, касается $\omega$.
В некоторой стране есть 100 городов, которые связаны такой сетью дорог, что из любого города в любой другой можно проехать только одним способом без разворотов. Схема сети дорог известна, развилки и перекрестки сети необязательно являются городами, всякая тупиковая ветвь сети обязательно заканчивается городом. Навигатор может измерить длину пути по этой сети между любыми двумя городами. Можно ли за 100 таких измерений гарантированно определить длину всей сети дорог?
Выпуклый многогранник с вершинами в серединах ребер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 66591 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66596 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66588 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66597 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66598 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
