Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 66809 (#10.1)

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Dadgarnia A.

В треугольнике $ABC$ $\angle A= 45^{\circ}$ . Точка $A'$ диаметрально противоположна $A$ на описанной окружности треугольника. Точки $E$ , $F$ на сторонах $AB$ , $AC$ соответственно таковы. что $A'B=BE$ , $A'C=CF$ . Пусть $K$ – вторая точка пересечения окружностей $AEF$ и $ABC$ . Докажите, что прямая $EF$ делит пополам отрезок $A'K$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 66810 (#10.2)

Тема:

[

Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Пусть $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ – середины сторон $BC$ , $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ , $K$ – основание высоты, проведенной из вершины $A$ , а $L$ – точка касания вписанной окружности $\gamma$ со стороной $BC$ . Описанные окружности треугольников $LKB_1$ и $A_1LC_1$ вторично пересекают прямую $B_1C_1$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Окружность $\gamma$ пересекает эту прямую в точках $Z$ и $T$ . Докажите, что $XZ = YT$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 66811 (#10.3)

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Bhattacharya A.

Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$ . Точка $A_1$ , лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$ , удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$ . Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$ , $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66812 (#10.4)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что сумма двух нагелиан больше полупериметра треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 66813 (#10.5)

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Пусть $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ – высоты треугольника $ABC$ ; $A_0$ , $C_0$ – точки пересечения описанной окружности треугольника $A_1BC_1$ с прямыми $A_1B_1$ и $C_1B_1$ соответственно. Докажите, что прямые $AA_0$ и $CC_0$ пересекаются на медиане треугольника $ABC$ или параллельны ей.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]